Để chứng minh M + 5 chia hết cho 7, ta cần chứng minh rằng tổng M chia hết cho 7.

Ta có công thức tổng của dãy số học cấp số nhân: S = a * (r^n - 1) / (r - 1), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số hạng cuối cùng.

Áp dụng công thức trên vào dãy số học cấp số nhân 2, ta có:
M = 2 * (2^100 - 1) / (2 - 1) = 2 * (2^100 - 1)

Để chứng minh M chia hết cho 7, ta cần chứng minh rằng 2^100 - 1 chia hết cho 7.

Ta biểu diễn 2^100 - 1 dưới dạng (2^3)^33 - 1 = (8)^33 - 1.

Áp dụng công thức a^n - b^n = (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + ab^(n-2) + b^(n-1)), ta có:
(8)^33 - 1 = (8 - 1)(8^(33-1) + 8^(33-2)*1 + ... + 8*1^(33-2) + 1^(33-1))

Ta thấy rằng mỗi số hạng trong dấu ngoặc đều chia hết cho 7, do đó tổng (8 - 1)(8^(33-1) + 8^(33-2)*1 + ... + 8*1^(33-2) + 1^(33-1)) chia hết cho 7.

Vậy ta kết luận rằng M chia hết cho 7.

Do đó, M + 5 cũng chia hết cho 7.