Để chứng minh rằng 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^101 chia hết cho 6, ta sẽ sử dụng định lý về tổng của cấp số nhân.

Ta có dãy số: 1, 5, 5^2, 5^3, ..., 5^101. Đây là một cấp số nhân với công bội là 5.

Theo định lý về tổng của cấp số nhân, tổng của cấp số nhân có công bội khác 1 là:

S = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó:
- S là tổng của cấp số nhân.
- a là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- r là công bội của cấp số nhân.
- n là số lượng số hạng trong cấp số nhân.

Áp dụng vào bài toán này, ta có:
- a = 1 (số hạng đầu tiên là 1).
- r = 5 (công bội là 5).
- n = 102 (số lượng số hạng là 102, từ 5^0 đến 5^101).

S = 1 * (5^102 - 1) / (5 - 1)
= (5^102 - 1) / 4

Để chứng minh rằng S chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng (5^102 - 1) chia hết cho 24 (vì 6 = 4 * 2).

Ta sẽ chứng minh rằng (5^102 - 1) chia hết cho 8 và chia hết cho 3.

1. Chứng minh (5^102 - 1) chia hết cho 8:
Ta biểu diễn 5^102 dưới dạng (4 + 1)^102 bằng công thức nhị thức Newton:
5^102 = C(102, 0) * 4^102 * 1^0 + C(102, 1) * 4^101 * 1^1 + C(102, 2) * 4^100 * 1^2 + ... + C(102, 101) * 4^1 * 1^101 + C(102, 102) * 4^0 * 1^102

Vì 4 chia hết cho 8, nên ta chỉ quan tâm đến phần tử cuối cùng của biểu thức trên:
C(102, 102) * 4^0 * 1^102 = 1 * 1 * 1 = 1

Vậy (5^102 - 1) chia hết cho 8.

2. Chứng minh (5^102 - 1) chia hết cho 3:
Ta biểu diễn 5^102 dưới dạng (3 + 2)^102 bằng công thức nhị thức Newton:
5^102 = C(102, 0) * 3^102 * 2^0 + C(102, 1) * 3^101 * 2^1 + C(102, 2) * 3^100 * 2^2 + ... + C(102, 101) * 3^1 * 2^101 + C(102, 102) * 3^0 * 2^102

Vì 3 chia hết cho 3, nên ta chỉ quan tâm đến phần tử cuối cùng của biểu thức trên:
C(102, 102) * 3^0 * 2^102 = 1 * 1 * 2^102 = 2^102

Vì 2^102 chia hết cho 3 (vì 2^2 = 4 chia hết cho 3), nên (5^102 - 1) chia hết cho 3.

Vậy (5^102 - 1) chia hết cho 8 và chia hết cho 3, nên (5^102 - 1) chia hết cho 24.

Vậy tổng 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^101 chia hết cho 6.