a. Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AM = MB.

Kẻ MD vuông góc AB, ME vuông góc AC.

Vì AM = MB, nên tam giác AMD và tam giác AME có cạnh AM chung và góc MAD = MAE = 90°.

Do đó, tam giác AMD và tam giác AME là tam giác vuông cân.

Vì AD = ME (cạnh đối của tam giác vuông cân AMD và AME), nên ADME là hình chữ nhật.

b. Chứng minh AK vuông góc IC.

Gọi H là giao điểm của đường cao AH và tia đối của tia HB.

Vì HA = HI (theo đề bài), nên tam giác HAI là tam giác cân tại H.

Vì HK = HB (theo đề bài), nên tam giác HKB cũng là tam giác cân tại H.

Do đó, HI là đường trung tuyến của tam giác HAB và HK là đường trung tuyến của tam giác HBC.

Vì tam giác HAB và tam giác HBC có cạnh HA và HB chung, nên HI và HK cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vậy, AK vuông góc IC.