Để chứng minh các điều kiện đã cho, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác cân và tam giác đồng dạng.

a) Ta có tam giác ABC là tam giác cân, nên BD là phân giác của góc BAC. Tương tự, CE là phân giác của góc CAB. Vậy BD và CE cắt nhau tại điểm I.

Do tam giác ABC là tam giác cân, nên ta có AB = AC. Khi đó, ta có tam giác ABD và tam giác ACD là tam giác đồng dạng (cùng có góc A và góc ADC bằng nhau). Vậy, ta có:

AB/AD = BD/DC
AB/AD = 1/2 (vì I là trung điểm BC)
BD/DC = 1/2

Vậy, ta có BE = ED = DC. Từ đó, ta suy ra tứ giác BEDC là hình thang cân.

b) Ta có tam giác ABC là tam giác cân, nên ta có góc BAC = góc BCA. Khi đó, ta có:

góc BAC + góc BCA = 180°
góc BAC + góc BAC = 180°
2góc BAC = 180°
góc BAC = 90°

Vậy, tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Khi đó, ta có góc BAC = 90°.

Do BD là phân giác của góc BAC, nên góc BAI = góc IAC. Tương tự, ta có góc CAI = góc IAB. Vậy, ta có:

góc BAI + góc CAI = góc IAC + góc IAB
2góc BAI = 2góc IAC
góc BAI = góc IAC

Từ đó, ta suy ra tứ giác AIOJ là tứ giác cân.

Vậy, ta đã chứng minh được các điều kiện đã cho.