Cho nửa đường tròn tâm O

a. Ta có:
- Gọi E là giao điểm của ax và by.
- Ta có AE và BE là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại A và B.
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên góc AOB là góc vuông.
- Do đó, ta có COD = 90 độ.

b. Ta có:
- Gọi O là tâm của đường tròn (o).
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên O nằm trên đường tròn đường kính AB.
- Gọi K là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn (o).
- Ta có OK là đường kính của đường tròn đường kính AB, nên OK = AB = 2r.
- Vậy, bán kính của đường tròn chứa bốn điểm B, D, M, O là r.

c. Ta có:
- Gọi F là giao điểm của CD và AB.
- Ta có AF và BF là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại A và B.
- Do đó, góc AFB = góc AOB = 90 độ.
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên AB là đường cao của tam giác AFB.
- Do đó, ta có CD = AC + BD.

d. Ta có:
- Gọi P là giao điểm của AC và BD.
- Ta có AP và BP là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại A và B.
- Do đó, góc APB = góc AOB = 90 độ.
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên AB là đường cao của tam giác APB.
- Do đó, tích AC.BD = AP.BP không đổi khi M thay đổi trên đường tròn (o).

e. Ta có:
- Gọi N là giao điểm của AB và CD.
- Ta có AN và BN là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại A và B.
- Do đó, góc ANB = góc AOB = 90 độ.
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên AB là đường cao của tam giác ANB.
- Do đó, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

g. Ta có:
- Gọi N là giao điểm của AB và CD.
- Ta có AN và BN là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại A và B.
- Do đó, góc ANB = góc AOB = 90 độ.
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên AB là đường cao của tam giác ANB.
- Do đó, MN song song với AC.

h. Ta có:
- Gọi N' là giao điểm của BN' và AD.
- Ta có AN' và BN' là tiếp tuyến của đường tròn (o) tại A và B.
- Do đó, góc AN'B = góc AOB = 90 độ.
- Vì AB là đường kính của đường tròn (o), nên AB là đường cao của tam giác AN'B.
- Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ABD, ta có:
1/BO + 1/BD = căn(2)/BN'.