Để phân số 2x - 3 / x + 1 là số nguyên, ta cần xác định giá trị của x sao cho tử số chia hết cho mẫu số.

2x - 3 chia hết cho x + 1 khi và chỉ khi 2x - 3 chia hết cho x + 1.

Điều này có nghĩa là phải tồn tại một số nguyên k sao cho 2x - 3 = k(x + 1).

Mở ngoặc và rút gọn, ta có 2x - 3 = kx + k.

Tiếp theo, ta chuyển các thành phần chứa x về cùng một vế và các thành phần không chứa x về cùng một vế:

2x - kx = k + 3.

Kết hợp các thành phần chứa x, ta có (2 - k)x = k + 3.

Để phương trình trên đúng, ta cần (2 - k) chia hết cho k + 3.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi (2 - k) chia hết cho k + 3.

Ta kiểm tra các giá trị của k từ -10 đến 10 để tìm giá trị của x thỏa mãn phương trình trên:

- Khi k = -10: (2 - (-10)) chia hết cho -10 + 3, tức là 12 chia hết cho -7, không đúng.
- Khi k = -9: (2 - (-9)) chia hết cho -9 + 3, tức là 11 chia hết cho -6, không đúng.
- Khi k = -8: (2 - (-8)) chia hết cho -8 + 3, tức là 10 chia hết cho -5, không đúng.
- Khi k = -7: (2 - (-7)) chia hết cho -7 + 3, tức là 9 chia hết cho -4, không đúng.
- Khi k = -6: (2 - (-6)) chia hết cho -6 + 3, tức là 8 chia hết cho -3, không đúng.
- Khi k = -5: (2 - (-5)) chia hết cho -5 + 3, tức là 7 chia hết cho -2, không đúng.
- Khi k = -4: (2 - (-4)) chia hết cho -4 + 3, tức là 6 chia hết cho -1, không đúng.
- Khi k = -3: (2 - (-3)) chia hết cho -3 + 3, tức là 5 chia hết cho 0, không đúng.
- Khi k = -2: (2 - (-2)) chia hết cho -2 + 3, tức là 4 chia hết cho 1, không đúng.
- Khi k = -1: (2 - (-1)) chia hết cho -1 + 3, tức là 3 chia hết cho 2, không đúng.
- Khi k = 0: (2 - 0) chia hết cho 0 + 3, tức là 2 chia hết cho 3, không đúng.
- Khi k = 1: (2 - 1) chia hết cho 1 + 3, tức là 1 chia hết cho 4, không đúng.
- Khi k = 2: (2 - 2) chia hết cho 2 + 3, tức là 0 chia hết cho 5, không đúng.
- Khi k = 3: (2 - 3) chia hết cho 3 + 3, tức là -1 chia hết cho 6, không đúng.
- Khi k = 4: (2 - 4) chia hết cho 4 + 3, tức là -2 chia hết cho 7, không đúng.
- Khi k = 5: (2 - 5) chia hết cho 5 + 3, tức là -3 chia hết cho 8, không đúng.
- Khi k = 6: (2 - 6) chia hết cho 6 + 3, tức là -4 chia hết cho 9, không đúng.
- Khi k = 7: (2 - 7) chia hết cho 7 + 3, tức là -5 chia hết cho 10, không đúng.
- Khi k = 8: (2 - 8) chia hết cho 8 + 3, tức là -6 chia hết cho 11, không đúng.
- Khi k = 9: (2 - 9) chia hết cho 9 + 3, tức là -7 chia hết cho 12, không đúng.
- Khi k = 10: (2 - 10) chia hết cho 10 + 3, tức là -8 chia hết cho 13, không đúng.

Từ kết quả trên, ta không tìm được giá trị nguyên x thỏa mãn yêu cầu đề bài.