Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần.

### Bước 1: Thiết lập hình vẽ
- Cho tam giác \(ABC\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\).
- Vẽ đường thẳng từ \(M\) song song với cạnh \(BC\) và cắt \(AC\) tại điểm \(N\).

### Bước 2: Tia phân giác góc A
- Gọi tia phân giác của góc \(A\) cắt cạnh bên \(BC\) ở điểm \(I\).

### Bước 3: Xác định điểm \(K\)
- Lấy điểm \(K\) trên tia \(AI\) sao cho \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(IK\).

### Bước 4: Chứng minh tứ giác \(AICK\) là hình gì
Ta cần chứng minh tứ giác \(AICK\) là một hình thoi hay hình chữ nhật. Để làm được điều đó, ta sẽ sử dụng các tính chất của tứ giác và các đoạn thẳng.

#### 1. Chứng minh \(AN = NC\)
- Do \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(MN \parallel BC\), ta có:
\[
\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}
\]
Mà \(AN + NC = AC\), vì vậy ta có \(AN = NC\) (cùng một tỷ lệ).

#### 2. Chứng minh \(IK = IN\)
- Khi \(N\) là trung điểm của \(IK\), ta có:
\[
IN = NK
\]
Điều này cho thấy đoạn \(IK\) cũng chia đều cho cả hai bên \(N\).

### Kết luận
Tứ giác \(AICK\) có các tính chất sau:
- \(AN = NC\)
- \(IK = 2IN\) (từ cả tính chất của trung điểm và tính chất song song cho ra các tính chất đồng dạng).
- Nếu \(N\) là trung điểm của \(IK\) và các đoạn thẳng cắt nhau tạo thành các đoạn thẳng chia đều, Tứ giác \(AICK\) là hình bình hành.

Tuy nhiên, do \(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(MN \parallel BC\), bạn có thể xác định rằng không chỉ là hình thoi mà còn có thể là hình chữ nhật hoặc hình vuông. Để kết luận chính xác, ta cần chứng minh thêm các cạnh và góc để khẳng định được hình dạng của tứ giác.

Vậy tứ giác \(AICK\) là một hình bình hành, có thể là hình chữ nhật. điều đó phụ thuộc vào các thông số cụ thể của tam giác \(ABC\).