Cho tam giác ABC, gọi N là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia NA lấy điểm D sao cho ND = NA

a) Ta có NA = ND và NB = NC (do N là trung điểm BC), suy ra tam giác NAB = tam giác NDC (theo định lí cạnh bằng cạnh). Từ đó, ta có AB = CD và AB // CD (do hai tam giác có cạnh song song).

b) Ta có AB // CD (đã chứng minh ở câu a), và ta cũng có AB = CD (do NAB = NDC), suy ra tam giác ABC = tam giác DCB (theo định lí hai tam giác bằng nhau).

c) Ta có AE = DF và NA = ND (do N là trung điểm BC), suy ra tam giác AEN = tam giác DFN (theo định lí cạnh bằng cạnh). Từ đó, ta có góc AEN = góc DFN. Nhưng góc AEN = góc BEN (do AB // CD), và góc DFN = góc CFD (do AB // CD), nên góc BEN = góc CFD. Từ đó, ta có BE // CF.

Vì AE = DF và BE // CF, nên tam giác ABE = tam giác DCF (theo định lí hai tam giác bằng nhau). Từ đó, ta có góc BAE = góc CDF. Nhưng góc BAE = góc BAN (do AB // CD), và góc CDF = góc CDN (do AB // CD), nên góc BAN = góc CDN. Từ đó, ta có BN // CD.

Vậy, ta có BE // CF và BN // CD, suy ra ba điểm E, N, F thẳng hàng (do hai đường thẳng song song cắt một đường thẳng khác tạo thành các góc bằng nhau).