Vì tam giác ABC cân tại A
suy ra AB = AC.
Mà MA = NC
Suy ra AM = CN.
Gọi x = AN = BM 
Vì ANM + BMN = 60 độ
suy ra AMN = 180 - (ANM + BMN) = 180 - 60 = 120 độ.
Do tam giác AMN cân tại A
Suy ra AM = AN = x.
Áp dụng định lí cơ bản về tam giác cân
Ta có góc AMN = góc ANM = (180 - góc MAN) / 2
= (180 - 120) / 2 = 30 độ.
suy ra góc AMN = góc BNM = 30 độ.
Mà  AMN = góc BNM = 30 độ
Và AM = BN = x
suy ra  tam giác BMN cân tại B.
suy ra BM = MN.
mà AB = AC và BM = MN
suy ra AB + BM = AC + MN
suy ra BC = MN ( đpcm)