Cho hình chữ nhật ABCD

a) Tứ giác AECF là hình bình hành vì các cạnh đối diện của nó là song song và bằng nhau (AE = CF và AC = EF).

b) Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC, ta có AM = MC.
- Gọi N là trung điểm của BD, ta có BN = ND.
- Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB.
- Vì F là trung điểm của CD nên CF = FD.
- Từ đó, ta có AM = MC = AE = EB và CF = FD = CN = ND.
- Do đó, ta có AM = MC = AE = EB = CF = FD = CN = ND.
- Vậy, ta có tứ giác AECF là hình bình hành.
- Vì AECF là hình bình hành nên đường chéo AC và BD cắt nhau tại một điểm O sao cho AO = OC và BO = OD.
- Vì E là trung điểm của AB nên EO song song với AC.
- Vì F là trung điểm của CD nên FO song song với AC.
- Vậy, ta có E, O, F thẳng hàng.

c) Ta có:
- Gọi I là giao điểm của BD và AF.
- Gọi K là giao điểm của EF và BD.
- Ta có tứ giác AECF là hình bình hành nên AE song song với CF.
- Vì E là trung điểm của AB nên AE = EB.
- Vì F là trung điểm của CD nên CF = FD.
- Vậy, ta có AE = EB = CF = FD.
- Do đó, ta có tứ giác AECF là hình bình hành.
- Vì AECF là hình bình hành nên đường chéo AC và BD cắt nhau tại một điểm O sao cho AO = OC và BO = OD.
- Vì I là giao điểm của BD và AF nên AI = IF.
- Vì K là giao điểm của EF và BD nên EK = KF.
- Ta có tứ giác AECF là hình bình hành nên AE = CF.
- Vậy, ta có AE = CF.
- Từ đó, ta có AI = IF và EK = KF.
- Vậy, ta có tứ giác IKDF là hình bình hành.
- Vì IKDF là hình bình hành nên IK song song với DF.
- Vì DF song song với BD nên IK song song với BD.
- Vậy, ta có IK song song với BD.
- Do đó, ta có IK = 1/3 DK.