a) Ta có AM = CN (giả thiết) và AB || CD (vì ABCD là hình bình hành), suy ra tam giác AMB và tam giác CND là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

∠AMB = ∠CND (cùng là góc ở đỉnh)
∠BAM = ∠DCN (cùng là góc ở đỉnh)
=> ∠BAM = ∠DCN

Vậy, theo định lí cắt giao, ta có AN || CM.

b) Ta cần chứng minh O là trung điểm MN. Gọi P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của CD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AP = BQ (vì P và Q là trung điểm của hai cạnh song song AB và CD). Ta cũng có AM = CN (theo giả thiết).

Do đó, ta có:
AP + AM = BQ + CN
=> AP + AM = BQ + AN (vì AN // CM)
=> AP + AM = AQ + AN (vì Q là trung điểm của CD)
=> AP + AM = 2AP + AN (vì AP = AQ)
=> AM = AN

Vậy, O là trung điểm của MN.