Cho tam giác ABC vuông ở A

Để chứng minh AM vuông góc với IK, ta sẽ sử dụng định lí Thales và định lí Euclid.

Gọi D là giao điểm của HK và AB. Ta cần chứng minh AD // IK.

Theo định lí Euclid, ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A nên AH vuông góc với BC.
- Tam giác ABH vuông tại H nên HI vuông góc với AB.
- Tam giác ACH vuông tại H nên HK vuông góc với AC.

Do đó, ta có các cặp góc vuông sau:
1. ∠AHI = ∠AHK (cùng góc vuông với AB)
2. ∠AHK = ∠ACH (cùng góc vuông với AC)
3. ∠ACH = ∠ADH (cùng góc vuông với AB)

Từ (1), (2) và (3), ta có:
∠AHI = ∠AHK = ∠ACH = ∠ADH

Do đó, ta có tứ giác AHID là tứ giác cân (có 2 cặp góc bằng nhau).

Theo định lí Euclid, trong một tứ giác cân, đường cao từ đỉnh góc bằng đường trung bình cắt đôi đối diện với đỉnh góc.

Vậy, ta có:
- Đường cao AH từ đỉnh A của tứ giác AHID cắt đường trung bình ID của tứ giác AHID tại điểm M (trung điểm của BC).
- Đường cao AD từ đỉnh A của tứ giác AHID cắt đường trung bình IK của tứ giác AHID tại điểm M (trung điểm của BC).

Do đó, ta có AM // ID và AM // IK.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AM vuông góc với IK.