Cho hình vuông ABCD

Để chứng minh tam giác ABI cân tại B, ta cần chứng minh AB = IB.

Vì M là trung điểm của BC, ta có BM = MC. (1)
Vì N là trung điểm của CD, ta có CN = ND. (2)

Vì ABCD là hình vuông, ta có AB = BC = CD = DA. (3)

Từ (1) và (3), ta có BM = AB/2. (4)
Từ (2) và (3), ta có CN = CD/2. (5)

Vì I là giao điểm của AN và DM, ta có:
AN cắt DM tại I.
Vì M là trung điểm của BC, ta có AM = MC. (6)
Vì N là trung điểm của CD, ta có DN = NC. (7)

Từ (6) và (7), ta có AM = DN.
Vì AN cắt DM tại I, ta có AI/IN = AM/DN = 1. (8)

Từ (4) và (5), ta có BM = AB/2 và CN = CD/2.
Vì AN cắt DM tại I, ta có AI/IN = BM/CN. (9)

Từ (8) và (9), ta có AI/IN = 1 = BM/CN.
Do đó, theo định lý đồng dạng, ta có tam giác ABI đồng dạng với tam giác ICN.

Vì tam giác ABI đồng dạng với tam giác ICN, ta có AB/IB = IC/CN.
Vì AB = CD và IB = IC, ta có AB/IB = CD/CN.

Từ (3), ta có AB/IB = AB/AB = 1.
Từ (5), ta có CD/CN = CD/CD = 1.

Vậy AB/IB = CD/CN = 1.
Do đó, AB = IB.

Vậy tam giác ABI cân tại B.