Để tính giá trị biểu thức này, ta sẽ sử dụng các công thức sau:

1. $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$
2. $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$
3. $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$

Áp dụng công thức 1 và 2, ta có:
$\sin^2 75^\circ = \frac{1 - \cos 150^\circ}{2} = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\cos^2 50^\circ = \frac{1 + \cos 100^\circ}{2} = \frac{1 + \cos 80^\circ}{2} = \frac{1 + \cos 20^\circ}{2}$

$\cos^2 40^\circ = \frac{1 + \cos 80^\circ}{2} = \frac{1 + \cos 20^\circ}{2}$

Áp dụng công thức 3, ta có:
$\cot 40^\circ = \frac{1}{\tan 40^\circ} = \frac{1}{\frac{\sin 40^\circ}{\cos 40^\circ}} = \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ}$

$\cot 50^\circ = \frac{1}{\tan 50^\circ} = \frac{1}{\frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}} = \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$

Thay các giá trị đã tính vào biểu thức ban đầu, ta có:
$A = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} + \frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{1 + \cos 20^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 20^\circ}{2} + \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} \cdot \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$

$= \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} \cdot \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$

Để tính giá trị cuối cùng, ta cần tính giá trị của $\frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} \cdot \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$.

Ta biết rằng $\sin 40^\circ = \cos (90^\circ - 40^\circ) = \cos 50^\circ$, nên biểu thức trên có thể đơn giản thành $\frac{\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} \cdot \frac{\cos 50^\circ}{\cos 40^\circ} = \frac{\cos 50^\circ}{\sin 40^\circ}$.

Vậy, giá trị cuối cùng của biểu thức ban đầu là:
$A = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{\cos 50^\circ}{\sin 40^\circ}$