Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM hạ vuông góc với AB tại E, sao cho E là trung điểm của MH, hạ MF vuông góc với AC tại F, lấy K, F là trung điểm của MK

a. Tứ giác PEMR là hình chữ nhật.
Vì E là trung điểm của MH, nên EM = EH.
Vì F là trung điểm của MK, nên FM = FK.
Do đó, EM = EH = FM = FK.
Vì EM = FM và EH = FK, nên tứ giác EMKF là hình chữ nhật.
Vì EMKF là hình chữ nhật, nên góc EKF = 90 độ.
Vì EMKF là hình chữ nhật, nên góc EKM = 90 độ.
Vì EKM là tam giác vuông tại K, nên góc EKM = 90 độ.
Vậy tứ giác PEMR là hình chữ nhật.

b. Chứng minh A là trung điểm của HK.
Vì M là trung điểm của BC, nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Vì E là trung điểm của AM, nên AE = EM.
Vì F là trung điểm của MK, nên FK = FM.
Vì EM = FM, nên AE = FK.
Vì AE = FK và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = góc FAK.
Vì AE = AF và góc EAF = góc FAK, nên tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng.
Vì tam giác AEF và tam giác AFK là tam giác đồng dạng, nên góc EFA = góc FKA.
Vì góc EFA = góc FKA và góc EAF = góc FAK = 90 độ, nên tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân.
Vì tam giác EAF và tam giác FAK là tam giác vuông cân, nên AE = AF và góc EAF = g