Chứng minh EM là trung trực PQ

a) Các tứ giác PEMR và PEQM đều là hình chữ nhật.

b) Ta có:
- D là trung điểm của PQ nên DE là đường trung trực của PQ.
- M là trung điểm của PQ nên MD là đường trung trực của PQ.
Vậy E là trung trực của PQ.

c) Ta có:
- QR là cạnh của tứ giác PEMR.
- PM là đường trung trực của QR.
Vậy PM là đường cao của tứ giác PEMR.
- Vì PEMR là hình chữ nhật nên PE = MR.
- Vì PM là đường cao của tứ giác PEMR nên PE = MR = PM.
Vậy chu vi của tứ giác PEMR là 2(PM + QR) = 2(PM + 4) = 2PM + 8.

d) Để PEQM là hình vuông, ta cần có các điều kiện sau:
- PE = EQ (vì PEQM là hình vuông nên các cạnh PE và EQ bằng nhau).
- PM vuông góc với EQ (vì PEQM là hình vuông nên PM là đường cao của EQ).
- PM = EQ (vì PEQM là hình vuông nên các cạnh PM và EQ bằng nhau).
- PE = QR (vì PEQM là hình vuông nên các cạnh PE và QR bằng nhau).

Tóm lại, tam giác PQR thỏa mãn các điều kiện sau thì PEQM là hình vuông:
- PE = EQ
- PM vuông góc với EQ
- PM = EQ
- PE = QR