a) Ta có AE = CF (theo đề bài). Mà AB || CD (vì ABCD là hình bình hành), nên góc AEB = góc CFD (cùng là góc đối). Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Ta có AE = CF (theo đề bài). Mà AECF là hình bình hành (theo câu a), nên AE || CF. Khi đó, ta có góc AED = góc CFB (cùng là góc đối). Vì AB || CD (vì ABCD là hình bình hành), nên góc AED = góc CFB = góc BFD (cùng là góc đối). Vậy tứ giác DEBF là tứ giác cân tại D. Do đó, ta có DE = BF.

c) Ta có AB || CD (vì ABCD là hình bình hành), nên góc ABD = góc BCD (cùng là góc đối). Mà I là điểm đối xứng của A qua D, nên góc AID = góc BID (cùng là góc đối). Vậy tứ giác AIBD là tứ giác cùng tứ giác. Khi đó, ta có góc ABD = góc BID (cùng là góc đối). Vậy tứ giác ABDI là tứ giác cùng tứ giác. Mà O là giao điểm của AC và BD, nên góc AOD = góc BOD (cùng là góc đối). Vậy tứ giác AODB là tứ giác cùng tứ giác. Từ đó, ta có OD || CI.

d) Ta có AE = CF (theo đề bài). Mà AECF là hình bình hành (theo câu a), nên AE || CF. Khi đó, ta có góc AED = góc CFB (cùng là góc đối). Vì AB || CD (vì ABCD là hình bình hành), nên góc AED = góc CFB = góc BFD (cùng là góc đối). Vậy tứ giác DEBF là tứ giác cân tại D. Do đó, ta có BD đi qua trung điểm của EF (vì DE = BF). Từ đó, ta có BD, EF, AC đồng quy tại một điểm.