Để chứng minh O là trực tâm của tam giác MNP, ta cần chứng minh OM ⊥ NP, ON ⊥ MP và OP ⊥ MN.

Ta có:
- Vì D, E, F lần lượt là tiếp điểm của BC, CA, AB với đường tròn (O), nên theo định lý tiếp điểm, ta có: OD ⊥ BC, OE ⊥ CA, OF ⊥ AB.
- Gọi H là giao điểm của EF và BC. Ta có: OH ⊥ EF (do EF là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Gọi I là giao điểm của PD và CA. Ta có: OI ⊥ PD (do PD là tiếp tuyến của đường tròn (O)).

Áp dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng (O, H, I) và (A, B, C), ta có: M, N, P thẳng hàng.

Do đó, ta có MN || BC, NP || CA, MP || AB.

Khi đó, ta có:
- OM ⊥ NP (do MN || BC và ON ⊥ BC)
- ON ⊥ MP (do NP || CA và OP ⊥ CA)
- OP ⊥ MN (do MP || AB và OM ⊥ AB)

Vậy, O là trực tâm của tam giác MNP.