a) Tứ giác AECF là hình bình hành. Vì AE = CF (vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD), và AC song song với EF (vì AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD và EF là đường chéo của hình bình hành AECF). Do đó, AECF là hình bình hành.

b) Ta có:
- Vì E là trung điểm của AB, nên AE = EB.
- Vì F là trung điểm của CD, nên CF = FD.
- Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC song song với BD.
Từ đó, ta có hai tam giác đồng dạng AEC và BFD (theo nguyên tắc đồng dạng góc - cạnh - góc). Do đó, các góc AEC và BFD bằng nhau.
Vì AC song song với BD, nên góc AEC và góc BFD là cặp góc đồng phẳng. Vì hai góc đồng phẳng bằng nhau, nên chúng là cặp góc đồng nhất.
Từ đó, ta có E, O, F thẳng hàng.

c) Ta có:
- Vì E là trung điểm của AB, nên AE = EB.
- Vì F là trung điểm của CD, nên CF = FD.
- Vì ABCD là hình chữ nhật, nên AC song song với BD.
- Vì E, O, F thẳng hàng, nên EO = OF.
- Vì I là giao điểm của BD và AF, nên AI = IF.
- Vì K là giao điểm của BD và EF, nên EK = FK.
Từ đó, ta có:
IK = IF - EK = AI - FK = AI - (EO - OF) = AI - EO + OF = AI - EO + EO = AI.
Vì AI = 1/3 AB (vì I là giao điểm của BD và AF, và AI chia AB thành 3 phần bằng nhau), nên IK = 1/3 DB.