Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (x-2)^2 - (3x+1)^2, ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của biểu thức này theo x:

f(x) = (x-2)^2 - (3x+1)^2

f'(x) = 2(x-2) - 2(3x+1)(3)

Tiếp theo, ta giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị của hàm số:

2(x-2) - 2(3x+1)(3) = 0
2x - 4 - 18x - 6 = 0
-16x - 10 = 0
x = -10/16
x = -5/8

Sau đó, ta kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm xung quanh để tìm giá trị lớn nhất. Ta có:

f(-5/8) = (-5/8 - 2)^2 - (3(-5/8) + 1)^2
= (-21/8)^2 - (-23/8)^2
= 441/64 - 529/64
= -88/64
= -11/8

f(-1) = (-1 - 2)^2 - (3(-1) + 1)^2
= (-3)^2 - (-2)^2
= 9 - 4
= 5

f(0) = (0 - 2)^2 - (3(0) + 1)^2
= (-2)^2 - (1)^2
= 4 - 1
= 3

f(1) = (1 - 2)^2 - (3(1) + 1)^2
= (-1)^2 - (4)^2
= 1 - 16
= -15

f(3/2) = (3/2 - 2)^2 - (3(3/2) + 1)^2
= (-1/2)^2 - (7/2)^2
= 1/4 - 49/4
= -48/4
= -12

Từ các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của biểu thức là 5, đạt được khi x = -1.