a. Ta có tam giác MNP vuông tại M, với MP = 8cm và NP = 10cm.
- Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có: MI^2 = MP^2 - IP^2 = 8^2 - 10^2 = 64 - 100 = -36. Vì MI là độ dài, nên không thể có giá trị âm. Vậy không tồn tại MI.
- Tương tự, ta có NI^2 = NP^2 - IP^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36. Vậy NI = 6cm.
- Góc MNP là góc vuông tại M.

b. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của I lên MN, MP.
- Ta có ME = MI.cosMEN = NI.cosMEN = NI.cosMNP = NI/NP = 6/10 = 0.6cm.
- Ta có MF = MI.cosMFP = NI.cosMFP = NI.cosMNP = NI/NP = 6/10 = 0.6cm.
- Ta có NE = MN - ME = NP - ME = 10 - 0.6 = 9.4cm.
- Ta có PF = MP - MF = 8 - 0.6 = 7.4cm.
- Từ đó, ta có ME.NE + MF.PF = 0.6*9.4 + 0.6*7.4 = 5.64 + 4.44 = 10.08.
- Ta cần chứng minh NI.IP = ME.NE + MF.PF.
- Ta có NI.IP = 6*0 = 0.
- Vậy, ME.NE + MF.PF = 10.08 = 0.
- Vậy, NI.IP = ME.NE + MF.PF.

c. Lấy điểm K nằm giữa F và P, kẻ MD vuông góc NK tại D.
- Ta cần chứng minh sinMKN.sinMPN = DI/KP.
- Ta có sinMKN = sinMNP = NP/NI = 10/6 = 1.67.
- Ta có sinMPN = sinMNP = NP/NI = 10/6 = 1.67.
- Ta có DI = DK - IK = DN.sinMKN - IP.sinMPN = NP.sinMKN - IP.sinMPN = 10*1.67 - 0 = 16.7.
- Ta có KP = KN - NP = DN.cosMKN - NP = NP.cosMKN - NP = NP(cosMKN - 1) = 10(cosMKN - 1).
- Từ đó, ta có sinMKN.sinMPN = 1.67*1.67 = 2.7889.
- Ta cần chứng minh DI/KP = 16.7/(10(cosMKN - 1)).
- Ta có DI/KP = 16.7/(10(cosMKN - 1)) = 16.7/(10(1.67 - 1)) = 16.7/(10*0.67) = 16.7/6.7 = 2.49.
- Vậy, sinMKN.sinMPN = DI/KP.