a) Ta có AM là đường cao của tam giác ABC vuông tại A, nên AM cũng là đường trung bình của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AM = BM = MC.

Theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + AC^2 = BC^2
6^2 + 8^2 = BC^2
36 + 64 = BC^2
100 = BC^2
BC = 10 cm

Vậy BC = 10 cm và AM = BM = MC = 5 cm.

b) Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Vì M là trung điểm của BC, nên DE song song với BC và có độ dài bằng một nửa độ dài BC. Từ đó suy ra ADME là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông và các cạnh đối diện bằng nhau.

c) Để hình bình hành ADME là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là các cạnh AD và DE bằng nhau.