Cho tam giác ABC vuông tại A (AB>AC), đường cao AH (H thuộc BC). Vẽ phân giác AD của góc BAH (D thuộc BH). Cho M là trung điểm của BA

a) Ta có tam giác ABC vuông tại B, với 4B > AC. Vì vậy, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để giải tam giác ABC.

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 + BC^2 = AC^2
(4)^2 + BC^2 = (3)^2
16 + BC^2 = 9
BC^2 = 9 - 16
BC^2 = -7

Vì không thể có cạnh tam giác có độ dài âm, nên tam giác ABC không tồn tại.

b) Để tính diện tích tam giác AHC, ta cần biết độ dài cạnh AH và HC.

Vì tam giác ABC vuông tại B, nên đường cao AH chính là cạnh huyền của tam giác ABC. Ta có:
AH^2 = AB^2 + BC^2
AH^2 = (4)^2 + (3)^2
AH^2 = 16 + 9
AH^2 = 25
AH = 5

Vì M là trung điểm của BA, nên AM = MB = 4/2 = 2

Áp dụng công thức diện tích tam giác, ta có:
S(AHC) = 1/2 * AH * HC
S(AHC) = 1/2 * 5 * HC
S(AHC) = 2.5 * HC

c) Ta cần chứng minh rằng DH/DB = HC/AC.

Áp dụng định lý phân giác, ta có:
DH/DB = AH/AB
DH/DB = 5/4

Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = (4)^2 + (3)^2
AC^2 = 16 + 9
AC^2 = 25
AC = 5

Vậy, ta có:
DH/DB = 5/4
HC/AC = HC/5

Để chứng minh DH/DB = HC/AC, ta cần chứng minh rằng 5/4 = HC/5.

Áp dụng tính chất của tỷ số, ta có:
5/4 = HC/5
25 = 20HC
HC = 25/20
HC = 5/4

Vậy, ta có DH/DB = HC/AC.

d) Để chứng minh S(PAC) = S(PAE), ta cần chứng minh rằng PA = PE và góc PEA = góc PAC.

Vì M là trung điểm của BA, nên AM = MB = 2. Ta có:
PA = AM + AP
PA = 2 + AP

Vì E là giao điểm của DM và 4H, nên DE là đường phân giác của góc BDA. Vì vậy, ta có:
DE/DB = AE/AB
DE/4 = AE/4
DE = AE

Vậy, ta có PA = PE.

Ta cần chứng minh góc PEA = góc PAC.

Vì AD là đường phân giác của góc BAH, nên góc PEA = góc PED.

Vì DE là đường phân giác của góc BDA, nên góc PED = góc PDA.

Vì AD là đường phân giác của góc BAH, nên góc PDA = góc PAC.

Vậy, ta có góc PEA = góc PAC.

Vậy, ta có S(PAC) = S(PAE).