Để chứng minh A chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Nếu a chia hết cho p (p là số nguyên tố) và a không chia hết cho q (q là số nguyên tố khác p), thì a mũ (p-1) chia hết cho p.

Ta thấy rằng 2 mũ 3 = 8 chia hết cho 7, và 2 mũ 6 = 64 chia hết cho 7.

Nếu ta xem xét chuỗi các số 2 mũ n (n từ 1 đến 2004), ta sẽ thấy rằng chu kỳ của chuỗi này là 3. Tức là, sau mỗi 3 số, chuỗi sẽ lặp lại từ đầu.

Vì vậy, ta có thể chia chuỗi này thành các nhóm có 3 số. Mỗi nhóm sẽ có tổng là 8 + 64 + 512 = 584, và có thể chia hết cho 7.

Số lượng nhóm có thể tạo ra từ 2004 số là 2004/3 = 668.

Vậy tổng của chuỗi A là 668 * 584 = 385312, và ta thấy rằng 385312 chia hết cho 7.

Vậy ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 7.