Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p = a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + 3abc/(2(ab + ac + bc)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p, ta sử dụng phương pháp đặt giả định.

Giả sử giá trị nhỏ nhất của biểu thức p là P, khi đó ta có:

p = a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + 3abc/(2(ab + ac + bc))

Ta có thể chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 3, thì a + b + c ≥ 3. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) ≥ (a + b + c)^2

3(a^2 + b^2 + c^2) ≥ (a + b + c)^2

3(3) ≥ (a + b + c)^2

9 ≥ (a + b + c)^2

a + b + c ≥ 3

Vì vậy, ta có a + b + c ≥ 3.

Tiếp theo, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) ≥ 3√(a^2/(b+c) * b^2/(c+a) * c^2/(a+b))

Ta có:

a^2/(b+c) * b^2/(c+a) * c^2/(a+b) = a^2b^2c^2/((b+c)(c+a)(a+b))

Vì a, b, c là các số thực dương, nên ta có:

a^2b^2c^2/((b+c)(c+a)(a+b)) ≥ a^2b^2c^2/(8abc) = abc/8

Vậy:

a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) ≥ 3√(abc/8)

Tiếp theo, ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM khác:

3√(abc/8) + 3abc/(2(ab + ac + bc)) ≥ 2√(3abc/2(ab + ac + bc))

Vậy:

p = a^2/(b+c) + b^2/(c+a) + c^2/(a+b) + 3abc/(2(ab + ac + bc)) ≥ 2√(3abc/2(ab + ac + bc))

Để tìm giá trị nhỏ nhất của p, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2√(3abc/2(ab + ac + bc)).

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

2√(3abc/2(ab + ac + bc)) ≤ (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc))

Vậy:

p ≥ (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc))

Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của p là (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của p, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)).

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

(3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)) ≥ 2√(3abc * 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc))

Vậy:

p ≥ 2√(3abc * 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc))

Để tìm giá trị nhỏ nhất của p, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2√(3abc * 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)).

Ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

2√(3abc * 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)) ≤ (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc))

Vậy:

p ≥ (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc))

Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của p là (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức p là (3abc + 2(ab + ac + bc))/(2(ab + ac + bc)).