Chứng minh rằng: BI = CI.tan2C

Để chứng minh a) BI=CI.tan^2C, ta sử dụng định lí hình chiếu trong tam giác vuông. Gọi M là trung điểm của BC, ta có:

BM = MC = BC/2 (do M là trung điểm của BC)
KM ⊥ BC (đường cao BK)
KM = KH + HM (định lí hình chiếu)
KM = KH + MC (do M là trung điểm của BC)
KM = KH + BC/2

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên K nằm trong tam giác ABC. Do đó, ta có:

KH = BH.tanC (định lí hình chiếu)
HM = CM.tanC (định lí hình chiếu)

Thay vào biểu thức trên, ta có:

KM = BH.tanC + CM.tanC + BC/2
KM = (BH + CM).tanC + BC/2
KM = BM.tanC + BC/2
KM = BC/2.tanC + BC/2
KM = BC/2(1 + tanC)

Vì KM ⊥ BC, nên tam giác BKM là tam giác vuông tại K. Áp dụng định lí hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:

BI = KM.tanC
BI = BC/2(1 + tanC).tanC
BI = BC/2(tanC + tan^2C)

Tương tự, ta có:

CI = BC/2(tanB + tan^2B)

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên B + C = 180°. Khi đó, ta có:

tanB + tanC = (sinB/cosB) + (sinC/cosC)
= (sinB.cosC + sinC.cosB)/(cosB.cosC)
= sin(B + C)/(cosB.cosC)
= sin180°/(cosB.cosC)
= 0/(cosB.cosC)
= 0

Do đó, BI = CI.tan^2C.

Để chứng minh b) SABC = AC^2/2(cotA + cotC), ta sử dụng công thức diện tích tam giác:

SABC = 1/2 AB.AC.sinA = 1/2 AC^2.sinA/cosA (vì AB = AC.cosA)

Ta có:

cotA = cosA/sinA
cotC = cosC/sinC

Thay vào biểu thức trên, ta có:

SABC = 1/2 AC^2.sinA/(cosA/sinA)
= 1/2 AC^2.sinA.sinA/cosA
= 1/2 AC^2.sin^2A/cosA

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên A + B + C = 180°. Khi đó, ta có:

sinA.sinB + sinA.sinC = (cosB.cosC - cosA)/(2cosB.cosC)
= (cos(B + C) - cosA)/(2cosB.cosC)
= (cosA - cosA)/(2cosB.cosC)
= 0

Do đó, SABC = AC^2/2(cotA + cotC).

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b).