a. Ta có M là trung điểm của AE và O là trung điểm của AC, suy ra MO song song với CE. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB song song với CE. Do đó, tứ giác ABEC là hình chữ nhật.

b. Ta có CE = CK (theo định nghĩa của điểm K). Vì ABEC là hình chữ nhật, nên AB song song với CE. Khi đó, AB cũng song song với CK. Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành.

Vì M là trung điểm của AE và O là trung điểm của AC, nên MO song song với CE. Vì ABCK là hình bình hành, nên AB song song với CK. Khi đó, ABCK là hình bình hành có đường chéo chia đôi nhau, suy ra O là trung điểm của BK.

c. G là trung điểm của AK, suy ra AG = GK. Vì ABCK là hình bình hành, nên AB song song với CK. Khi đó, AG song song với CK. Do đó, tứ giác AGCM là hình bình hành.

d. Ta có MF vuông góc AB tại F, nên FM song song với BC. Vì ABEC là hình chữ nhật, nên AB song song với CE. Khi đó, AB cũng song song với FM. Do đó, FM song song với BC.

Vì AH vuông góc BC tại H, nên OH song song với BC. Vì ABEC là hình chữ nhật, nên AB song song với CE. Khi đó, AB cũng song song với OH. Do đó, OH song song với BC.

Ta có MF song song với BC và OH song song với BC, suy ra MF song song với OH. Vì vậy, FM và OH cắt nhau tại một điểm, ký hiệu là P.

Ta có AI song song với FO (vì MO là đường trung trực của AC và AI là đường trung trực của BC). Vì FM song song với OH, nên FM cắt AI tại một điểm, ký hiệu là I.

Vậy, ta có FM, OH, PI đồng quy.