a) Vì O, O’ và B thẳng hàng nên: O’B < OB ⇒ O’ nằm giữa O và B

Ta có: OO’ = OB – O¢B

Vậy đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B.

b) Ta có:   HA = HC (gt)

 AB ⊥ DE (gt)

Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung)

Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành.

Lại có: AC ⊥ DE

Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi.

c) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD
 

Suy ra:  EC ⊥ BD            (1)

Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O¢) có BC là đường kính nên vuông tại K.

Suy ra: CK ⊥ BD             (2)

Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK

Vậy E, C, K thẳng hàng.

d) Tam giác DEK vuông tại K có KH là trung tuyến thuộc cạnh huyền DE nên:

HK=HE=1/2DE (tính chất tam giác vuông)

Suy ra tam giác EHK cân tại H

Suy ra: ˆHEK=ˆHKE (tính chất tam giác cân)            (3)

Ta có: O’K = O’C (= R) nên tam giác O’CK cân tại O’

Suy ra: ˆO′KC=ˆO′CK (tính chất tam giác cân)

Mà: ˆO′CK=ˆHCE (đối đỉnh)

Suy ra: ˆO′KC=ˆHCE                                 (4)

Từ (3) và (4) suy ra: ˆHKO′=ˆHKE+ˆO′KC=ˆHEK+ˆHCE   (5)

Tam giác CEH vuông tại H nên ˆHEK+ˆHCE=90∘ (6)

Từ (5) và (6) suy ra: ˆHKO′=90∘ hay HK ⊥ KO’ tại K

Vậy HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).