Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD, OD. Tìm giao điểm I của BC và (AMN). Tìm giao điểm J của CD và (AMN). Tìm giao điểm K của SA và (CMN). Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC). Tìm giao điểm của SC và (NPK)

a) Để tìm giao điểm I của BC và (AMN), ta cần tìm phương trình đường thẳng BC và phương trình đường thẳng (AMN).

Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có AB // CD và AB = CD. Do đó, ta có hai tam giác SAB và SCD đồng dạng.

Gọi x là giao điểm của AB và CD. Ta có:
- SB // AD (do AB // CD)
- SB = 2AD (do AB = 2CD)
- AM = 2SD (do tam giác SAB và SCD đồng dạng)

Vậy ta có:
- M là trung điểm của SB, nên SM = MB
- N là trung điểm của SD, nên SN = ND
- P là trung điểm của OD, nên OP = PD

Ta có phương trình đường thẳng BC: y = kx + b (1)
Với k là hệ số góc của BC và b là hệ số tự do.

Ta có phương trình đường thẳng (AMN): y = mx + c (2)
Với m là hệ số góc của (AMN) và c là hệ số tự do.

Để tìm giao điểm I của BC và (AMN), ta giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm x và y.

Tương tự, để tìm giao điểm J của CD và (AMN), ta giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm x và y.

b) Để tìm giao điểm k của SA và (CMN), ta cần tìm phương trình đường thẳng SA và phương trình đường thẳng (CMN).

Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có SA // BC và SA = BC. Do đó, ta có hai tam giác SAB và SCD đồng dạng.

Gọi y là giao điểm của SA và BC. Ta có:
- SB // AD (do AB // CD)
- SB = 2AD (do AB = 2CD)
- AM = 2SD (do tam giác SAB và SCD đồng dạng)

Vậy ta có:
- M là trung điểm của SB, nên SM = MB
- N là trung điểm của SD, nên SN = ND
- P là trung điểm của OD, nên OP = PD

Ta có phương trình đường thẳng SA: y = kx + b (3)
Với k là hệ số góc của SA và b là hệ số tự do.

Ta có phương trình đường thẳng (CMN): y = mx + c (4)
Với m là hệ số góc của (CMN) và c là hệ số tự do.

Để tìm giao điểm k của SA và (CMN), ta giải hệ phương trình (3) và (4) để tìm x và y.

c) Để tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC), ta cần tìm phương trình đường thẳng (NPK) và phương trình đường thẳng (SAC).

Gọi z là giao điểm của (NPK) và (SAC). Ta có:
- N là trung điểm của SD, nên SN = ND
- P là trung điểm của OD, nên SP = PD
- K là trung điểm của NP, nên NK = KP

Ta có phương trình đường thẳng (NPK): y = mx + d (5)
Với m là hệ số góc của (NPK) và d là hệ số tự do.

Ta có phương trình đường thẳng (SAC): y = nx + e (6)
Với n là hệ số góc của (SAC) và e là hệ số tự do.

Để tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC), ta giải hệ phương trình (5) và (6) để tìm x và y.

d) Để tìm giao điểm của SC và (NPK), ta cần tìm phương trình đường thẳng SC và phương trình đường thẳng (NPK).

Gọi t là giao điểm của SC và (NPK). Ta có:
- N là trung điểm của SD, nên SN = ND
- P là trung điểm của OD, nên SP = PD
- K là trung điểm của NP, nên NK = KP

Ta có phương trình đường thẳng SC: y = px + f (7)
Với p là hệ số góc của SC và f là hệ số tự do.

Ta có phương trình đường thẳng (NPK): y = mx + g (8)
Với m là hệ số góc của (NPK) và g là hệ số tự do.

Để tìm giao điểm của SC và (NPK), ta giải hệ phương trình (7) và (8) để tìm x và y.