Cho hàm số: y = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + m. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 3. Tìm m để phương trình |x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x| + 3m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

a) Để khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x^3 - 3x^2 - 9x + m, ta cần tìm các điểm cực trị và điểm uốn của hàm số.

Đạo hàm của hàm số là: y' = 3x^2 - 6x - 9.

Để tìm điểm cực trị, giải phương trình y' = 0:
3x^2 - 6x - 9 = 0
x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
=> x = 3 hoặc x = -1.

Đặt x = -1 vào hàm số, ta có: y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + m = -1 + 3 + 9 + m = 11 + m.
Đặt x = 3 vào hàm số, ta có: y = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + m = 27 - 27 - 27 + m = -27 + m.

Vậy điểm cực trị là (-1, 11 + m) và (3, -27 + m).

Đạo hàm hai của hàm số là: y'' = 6x - 6.

Để tìm điểm uốn, giải phương trình y'' = 0:
6x - 6 = 0
6x = 6
x = 1.

Đặt x = 1 vào hàm số, ta có: y = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) + m = 1 - 3 - 9 + m = -11 + m.

Vậy điểm uốn là (1, -11 + m).

Tiếp theo, ta xét sự biến thiên của hàm số:
- Khi x < -1, ta có y' < 0, nghĩa là hàm số đang giảm.
- Khi -1 < x < 1, ta có y' > 0, nghĩa là hàm số đang tăng.
- Khi x > 1, ta có y' < 0, nghĩa là hàm số đang giảm.

Với các điểm cực trị và điểm uốn đã tìm được, ta có bảng biến thiên như sau:

x | -∞ | -1 | 1 | 3 | +∞
y' | | - | + | - |
y'' | | | + | |

Với m = 3, ta vẽ đồ thị hàm số như sau: