Để chứng minh rằng A chia hết cho 7, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ta biểu diễn A dưới dạng tổng cấp số nhân:
A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹ = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹

Ta thấy rằng mỗi số trong dãy 2⁰, 2¹, 2², 2³, ... có dạng 2^k, với k là một số nguyên không âm.

Áp dụng định lý Fermat nhỏ cho p = 7 và a = 2, ta có:
2^(7-1) ≡ 1 (mod 7)
2^6 ≡ 1 (mod 7)

Do đó, ta có thể viết lại A như sau:
A = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹ ≡ 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + 4 + ... + 1 + 2 + 4 (mod 7)

Nhận thấy rằng dãy số 1, 2, 4 lặp lại. Ta có thể nhóm các số này thành các nhóm có 3 số:
A ≡ (1 + 2 + 4) + (1 + 2 + 4) + ... + (1 + 2 + 4) (mod 7)

Mỗi nhóm có tổng là 7, do đó:
A ≡ 7 + 7 + ... + 7 (mod 7)

Vì vậy, A chia hết cho 7.