Để kiểm tra xem A có là bội của 13 hay không, ta cần xem xét phần dư của A khi chia cho 13.

Ta biết rằng 3^6 ≡ 1 (mod 13) do 3^6 = 729 ≡ 1 (mod 13). Vì vậy, ta có thể viết lại A như sau:

A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^920
= 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 3^920
≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 3^920 (mod 13)
≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 3^6 * 3^913 + 3^6 * 3^914 + 3^6 * 3^915 (mod 13)
≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 1 * 3^913 + 1 * 3^914 + 1 * 3^915 (mod 13)
≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 3^913 + 3^914 + 3^915 (mod 13)

Ta thấy rằng chuỗi 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 là một chuỗi hình học với công bội là 3. Vậy ta có:

1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 ≡ (3^920 - 1) / (3 - 1) ≡ (3^920 - 1) / 2 (mod 13)

Để tính phần dư của (3^920 - 1) / 2 khi chia cho 13, ta cần tính phần dư của 3^920 khi chia cho 13. Ta có:

3^1 ≡ 3 (mod 13)
3^2 ≡ 9 (mod 13)
3^3 ≡ 1 (mod 13)
3^4 ≡ 3 * 3^3 ≡ 3 (mod 13)
3^5 ≡ 3 * 3^4 ≡ 9 (mod 13)
3^6 ≡ 3 * 3^5 ≡ 1 (mod 13)

Ta thấy rằng chu kỳ của 3^k khi chia cho 13 là 6. Vì vậy, ta có:

3^920 ≡ 3^4 ≡ 3 (mod 13)

Vậy ta có:

(3^920 - 1) / 2 ≡ (3 - 1) / 2 ≡ 1 (mod 13)

Do đó, A ≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 3^913 + 3^914 + 3^915 ≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 3^913 + 3^914 + 3^915 ≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 1 + 3 + 9 ≡ 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^918 + 3^919 + 1 + 3 + 9 ≡ (3^920 - 1) / 2 + 1 + 3 + 9 ≡ 1 + 1 + 3 + 9 ≡ 14 ≡ 1 (mod 13)

Vậy A ≡ 1 (mod 13), nghĩa là A không là bội của 13.