Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Để chứng minh các câu trên, ta sẽ sử dụng các định lí sau:

Định lí 1: Trong một tam giác, đường trung bình đi qua trung điểm của cạnh tương ứng và song song với cạnh đối diện.

Định lí 2: Trong một tam giác, đường cao đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.

Định lí 3: Trong một tam giác, đường phân giác đi qua đỉnh và chia cạnh đối diện thành hai phần có tỉ lệ bằng tỉ lệ của các cạnh gần đỉnh đó.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành:

Vì M là trung điểm của BC, nên theo định lí 1, ta có AM song song với đường trung bình BD và MD = MA.

Vì MD = MA, nên tam giác AMD là tam giác cân tại M.

Vì AM song song với BD, nên góc AMD = góc BDA.

Vì góc AMD = góc BDA và góc AMD = góc MDA = góc BDA, nên tam giác AMD = tam giác BDA.

Do đó, AB = CD và AD = BM.

Vậy tứ giác ABDC là hình bình hành.

b) Chứng minh 3 điểm E, N, D thẳng hàng:

Vì AE = AB, nên tam giác AEM là tam giác cân tại M.

Vì AM song song với BD, nên góc AMD = góc BDA.

Vì góc AMD = góc BDA và góc AMD = góc MDA = góc BDA, nên tam giác AMD = tam giác BDA.

Do đó, AD = BM.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

Vậy AD = MC.

Vì AD = MC và AM song song với DN, nên theo định lí 2, ta có DN là đường cao của tam giác AMC.

Vì DN là đường cao của tam giác AMC, nên góc AMN = góc NMC.

Vì AM song song với DN, nên góc AMN = góc NMC = góc AMD = góc BDA.

Vì góc AMN = góc BDA và góc AMN = góc NMA = góc BDA, nên tam giác AMN = tam giác BDA.

Do đó, AN = BD và AM = AD.

Vì AB = CD và AN = BD, nên AB = AN.

Vậy tam giác AMN là tam giác cân tại M.

Vì tam giác AMN là tam giác cân tại M, nên góc AMN = góc ANM.

Vì góc AMN = góc ANM và góc AMN = góc NMA = góc ANM, nên tam giác AMN = tam giác ANM.

Do đó, AM = AN.

Vậy tam giác AMN là tam giác đều.

Vì tam giác AMN là tam giác đều, nên góc AMN = góc ANM = 60 độ.

Vì góc AMN = góc BDA = 60 độ, nên tam giác BDA cũng là tam giác đều.

Vậy tam giác BDA là tam giác đều.

Vì tam giác BDA là tam giác đều, nên góc BDA = 60 độ.

Vì góc BDA = góc AMD = 60 độ, nên tam giác AMD cũng là tam giác đều.

Vậy tam giác AMD là tam giác đều.

Vì tam giác AMD là tam giác đều, nên góc AMD = góc MDA = 60 độ.

Vì góc AMD = góc MDA = 60 độ và góc AMD = góc BDA = 60 độ, nên tam giác AMD = tam giác BDA = tam giác AMN.

Do đó, 3 điểm E, N, D thẳng hàng.