a, Chứng minh tam giác AMC cân:
Vì tam giác ABC vuông tại A và trung tuyến AM, ta có AM = MC (do trung tuyến chia đôi đoạn thẳng nối hai đỉnh của nó).
Vì AB < AC và tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC < góc BCA.
Do đó, góc MAC = góc BAC > góc BCA = góc MCA.
Vậy tam giác AMC là tam giác cân.

b, Chứng minh tam giác MCN là hình thoi:
Vì MO = NO và góc MOC = góc NOC = 90 độ (do MO vuông góc với AC), nên tam giác MOC và tam giác NOC là hai tam giác cân.
Vì MC = NC (do tam giác AMC cân), nên ta có MO = NO và góc MOC = góc NOC = 90 độ.
Vậy tam giác MCN là hình thoi.

c, Chứng minh 3 điểm A, M, D thẳng hàng:
Vì i là trung điểm của MC, nên IM = IC.
Vì IN = ID, nên tam giác INC và tam giác IDC là hai tam giác cân.
Vì góc INC = góc IDC (do tam giác MCN là hình thoi), nên ta có góc NIC = góc DIC.
Vì IM = IC và góc NIC = góc DIC, nên tam giác NIM và tam giác DIC là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung và hai góc tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có góc NMI = góc CDI.
Vì góc NMI = góc CDI và góc MNI = góc CDI (do tam giác INC và tam giác IDC là hai tam giác cân), nên tam giác NMI và tam giác CDI là hai tam giác đồng dạng.
Vậy ta có NM = CD.
Vì MO = NO và NM = CD, nên ta có MO = NO = NM = CD.
Vậy ta có tam giác MNO và tam giác CND là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung và hai cạnh tương ứng bằng nhau).
Do đó, ta có góc MNO = góc CND.
Vì góc MNO = góc CND và góc MNC = góc CND (do tam giác MCN là hình thoi), nên tam giác MNC và tam giác CND là hai tam giác đồng dạng.
Vậy ta có góc MNC = góc CND.
Vì góc MNC = góc CND và góc MCA = góc CDA (do tam giác AMC cân), nên ta có góc MCA = góc CDA.
Vậy ta có góc MCA = góc CDA.
Vì góc MCA = góc CDA và góc MAC = góc CAD (do tam giác AMC cân), nên ta có góc MAC = góc CAD.
Vậy ta có góc MAC = góc CAD.
Vì góc MAC = góc CAD và góc BAC = góc BDA (do tam giác ABC vuông tại A), nên ta có góc BAC = góc BDA.
Vậy ta có góc BAC = góc BDA.
Vì góc BAC = góc BDA và góc BCA = góc BDC (do tam giác ABC vuông tại A), nên ta có góc BCA = góc BDC.
Vậy ta có góc BCA = góc BDC.
Vì góc BCA = góc BDC và góc MCA = góc CDA, nên ta có góc MCA = góc CDA = góc BCA = góc BDC.
Vậy ta có 3 điểm A, M, D thẳng hàng.

d, Để M là trực tâm của tam giác BND, ta cần thêm điều kiện góc BAC = 90 độ (tam giác ABC vuông tại A).