Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Qua C, B kẻ các đường thẳng vuông góc với AC, AB cắt nhau tại K. Tứ giác BHCK là hình gì?

a) Tứ giác BHCK là hình chữ nhật.

Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC. Tương tự, CK vuông góc với AB. Do đó, BH và CK là hai đường thẳng vuông góc với nhau, và do đó tứ giác BHCK là hình chữ nhật.

b) Ta có M là trung điểm của BC, nên BM = MC.

Vì BK vuông góc với AC và CK vuông góc với AB, nên tứ giác BKMC là hình chữ nhật.

Vì BM = MC và BK = KC, nên ta có BM = MC = BK = KC.

Do đó, ta có H, M, K thẳng hàng trên đường thẳng BC.

c) Ta có HG vuông góc với BC, nên HI cũng vuông góc với BC.

Vì BHCK là hình chữ nhật, nên BH // CK.

Vì HI vuông góc với BC và BH // CK, nên HI cũng vuông góc với CK.

Vì HI vuông góc với CK và BH // CK, nên HI cũng vuông góc với BH.

Vậy, ta có HI vuông góc với cả BH và CK.

Vì HI vuông góc với BH và HI vuông góc với CK, nên HI là đường cao của tam giác BCK.

Vì HI là đường cao của tam giác BCK, nên ta có BI = CI.

Vậy, ta có BCKI là hình thang cân.