Cho tam giác ABC cân A, M là trung điểm BC. Gọi P là trung điểm AB, Q là trung điểm AC. Điểm E đối xứng M qua P, F đối xứng M qua Q. Tứ giác AMBE là hình gì?

a, Tư giác AMBE là hình bình hành.
Vì M là trung điểm BC nên BM = MC. Vì tam giác ABC cân nên AB = AC.
Do đó, ta có AM = MC và AB = AC.
Vậy tam giác AMC là tam giác cân và AM là đường trung bình của tam giác đó.
Khi đó, ta có ME = MC và AE = AM.
Do đó, tam giác AME cũng là tam giác cân và ME là đường trung bình của tam giác đó.
Vậy ta có AM = ME và AE = MC.
Từ đó, ta suy ra AMBE là hình bình hành với ME là đường chéo chia đôi các đường bên.

b, AF = MC.
Vì P là trung điểm AB nên AP = PB.
Vì tam giác ABC cân nên AB = AC.
Do đó, ta có AP = PB và AB = AC.
Từ đó, ta suy ra tam giác APB và tam giác AQC là tam giác đồng dạng.
Vậy ta có AP/AQ = PB/CQ.
Nhưng ta cũng có AP/AQ = AM/AC và PB/CQ = MC/AC.
Do đó, ta có AM/AC = MC/AC.
Từ đó, ta suy ra AM = MC.
Vậy AF = MC.

c, A, E, F thẳng hàng.
Vì E là điểm đối xứng của M qua P nên ta có ME // AP.
Tương tự, ta có MF // AQ.
Vì tam giác APQ là tam giác đồng dạng với tam giác AME và tam giác AMF nên ta có AP/AQ = ME/MF.
Nhưng ta cũng có AP/AQ = AB/AC = 1 (vì tam giác ABC cân).
Do đó, ta có ME/MF = 1.
Từ đó, ta suy ra ME = MF.
Vậy A, E, F thẳng hàng.