a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Mà HM vuông góc với AB nên HM song song với BC. Tương tự, HN song song với BC. Do đó, ta có HM và HN cùng vuông góc với AB và song song với BC, suy ra HM và HN song song với nhau.

Vì AM vuông góc với AB và HM song song với AB, nên AM vuông góc với HM. Tương tự, AN vuông góc với HN.

Vậy ta có AM vuông góc với HM và AN vuông góc với HN, suy ra AMHN là hình chữ nhật.

b) Ta có I là trung điểm của HC, nên HI song song với AC và có độ dài bằng một nửa độ dài AC.

Vì IK = IA, nên IA song song với HK và có độ dài bằng AI.

Do đó, IA và HI cùng song song với HK và AC.

Vậy ta có AC song song với HK.

c) Ta có MN là đường chéo của hình chữ nhật AMHN, nên MN cắt AH tại O sao cho AO = OH.

CO là đường chéo của hình chữ nhật AMHN, nên CO cắt AK tại D sao cho AD = DK.

Vì AK = AI + IK = AI + IA = 2IA, nên AD = DK = IA.

Vậy ta có AK = 3AD.