Để chứng minh tứ giác DCQM là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh DC và QM bằng nhau và vuông góc với nhau.

Vì tam giác ABC vuông cân tại C, ta có AC = BC. Vì AB = CQ, suy ra AC = BC = CQ.

Vì PM song song với BC, ta có góc QPM = góc QBC = góc QCB (do PM song song với BC và tam giác ABC vuông cân tại C).

Vì tam giác ABC vuông cân tại C, ta có góc ACB = góc BAC. Vì AB = CQ, suy ra góc QCB = góc QBC = góc BAC.

Vậy ta có góc QPM = góc QCB = góc BAC = góc ACB.

Vì góc QPM = góc ACB và AC = BC = CQ, suy ra tam giác QPM đồng dạng với tam giác ACB.

Do đó, ta có QP = AC = BC = CQ và góc QPM = góc ACB = 90 độ.

Vậy tứ giác DCQM là hình chữ nhật.