Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn: BH = 5cm và HC = 7cm

a) Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.
- Vì AH chia cạnh huyền BC thành 2 đoạn BH = 5cm và HC = 7cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB² + AC² = BC²

Vì AB = BH và AC = HC, ta có:
BH² + HC² = BC²
5² + 7² = BC²
25 + 49 = BC²
74 = BC²

Vậy BC = √74 cm.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
AH² = AB² - BH²
AH² = AB² - 5²
AH² = AB² - 25

Và AH² = AC² - HC²
AH² = AC² - 7²
AH² = AC² - 49

Vì AB² + AC² = BC², ta có:
AB² + AC² = 74
AB² + AC² = BC²
AB² + AC² = √74²
AB² + AC² = 74

Từ đó suy ra:
AB² - 25 + AC² - 49 = 74
AB² + AC² = 74 + 25 + 49
AB² + AC² = 148

Thay vào hai biểu thức trên, ta có:
AB² - 25 = AC² - 49
AB² - AC² = -24

AB² + AC² = 148
AB² - AC² = -24

Cộng hai biểu thức trên, ta có:
2AB² = 124
AB² = 62

Vậy AB = √62 cm.

Thay vào biểu thức AB² + AC² = 148, ta có:
62 + AC² = 148
AC² = 148 - 62
AC² = 86

Vậy AC = √86 cm.

Tóm lại, độ dài các cạnh là:
AH = √(AB² - 25) = √(62 - 25) = √37 cm
AB = √62 cm
AC = √86 cm

b) Gọi M là trung điểm của AC. Ta có AM = MC = 1/2AC.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác AMB, ta có:
cos(∠AMB) = (AB² + AM² - BM²) / (2AB * AM)

Vì AB = √62 cm và AM = 1/2AC = 1/2√86 cm, ta có:
cos(∠AMB) = (√62² + (1/2√86)² - BM²) / (2√62 * 1/2√86)
cos(∠AMB) = (62 + 1/4 * 86 - BM²) / (√62 * √86)
cos(∠AMB) = (62 + 21.5 - BM²) / (√62 * √86)
cos(∠AMB) = (83.5 - BM²) / (√62 * √86)

Vì M là trung điểm của AC nên BM = 1/2BC = 1/2√74 cm.

Thay vào biểu thức trên, ta có:
cos(∠AMB) = (83.5 - (1/2√74)²) / (√62 * √86)
cos(∠AMB) = (83.5 - 1/4 * 74) / (√62 * √86)
cos(∠AMB) = (83.5 - 18.5) / (√62 * √86)
cos(∠AMB) = 65 / (√62 * √86)

Vậy số đo góc AMB là arccos(65 / (√62 * √86)).