a) Để khối hình trụ cân bằng trong nước, ta có công thức cân bằng lực:
Lực nặng của khối hình trụ = Lực nâng của nước
=> Với khối hình trụ: m3 * g = V3 * D0 * g
=> V3 = m3 / D0
Với nước: m2 * g = V2 * D0 * g
=> V2 = m2 / D0
Với khối hình trụ: m3 = V3 * D
Với nước: m2 = V2 * D0
Thay vào công thức cân bằng lực ta có:
V3 * D * g = V2 * D0 * g
=> V3 * D = V2 * D0
=> m3 / D0 * D = m2 / D0
=> m3 * D = m2
=> V3 * D = V2
=> S3 * h * D = S2 * h
=> 10cm2 * h * 900kg/m3 = 30cm2 * h * 1000kg/m3
=> 9000h = 30000h
=> h = 3cm
Vậy, khi khối hình trụ ngập trong nước, chiều cao của nó là 3cm.

b) Để khối hình trụ cân bằng trong nước và dầu, ta cần tính khối lượng dầu tối thiểu cần đổ vào nhánh 2.
Tương tự như phần a), ta có công thức cân bằng lực:
Lực nặng của khối hình trụ + Lực nặng của dầu = Lực nâng của nước
=> V3 * D * g + Vd * D1 * g = V2 * D0 * g
=> S3 * h * D * g + Vd * Sd * D1 * g = S2 * h * D0 * g
=> 10cm2 * 3cm * 900kg/m3 * 9.8m/s2 + Vd * Sd * 800kg/m3 * 9.8m/s2 = 30cm2 * 3cm * 1000kg/m3 * 9.8m/s2
=> 2700 + Vd * Sd * 7840 = 8820
=> Vd * Sd = (8820 - 2700) / 7840
=> Vd * Sd = 0.86cm3
Vậy, khối lượng dầu tối thiểu cần đổ vào nhánh 2 là 0.86cm3.

c) Độ dâng lên của mực nước nhánh 1 so với khi chưa thêm khối hình trụ và dầu là chiều cao của khối hình trụ.
Vậy, độ dâng lên của mực nước nhánh 1 là 3cm.