a) Ta có M là trung điểm của HC nên HM = MC. Vì DH vuông góc với AC nên góc HDM = 90 độ. Từ đó ta có góc HDM = góc MCD (cùng là góc vuông) và góc HMD = góc MDC (cùng là góc vuông). Vậy tam giác HDM và tam giác MCD có 2 góc bằng nhau nên chúng đồng dạng. Do đó, ta có MD/DM = CD/CM = 2AB/CM = 2. Vậy tam giác MND là tam giác vuông cân tại M, nên MN vuông góc với AD.

b) Ta có AB = CD/2 và M là trung điểm của HC nên HM = MC. Vậy AM = AB + BM = AB + MC = AB + CD/2 = CD/2 + CD/2 = CD. Tương tự, ta có BN = CD. Vậy AM = BN. Do đó, ta có AM = BN và MN song song với AB nên tam giác ABM và tam giác MNB là hai tam giác đồng dạng. Vậy ABMN là hình bình hành.

c) Ta có MN vuông góc với AD (đã chứng minh ở câu a). Góc BMD là góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng BM. Vì ABMN là hình bình hành nên góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng BM bằng góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng BM. Nhưng AB và BM là hai cạnh liên tiếp của hình bình hành ABMN nên góc giữa AB và BM là 180 độ. Vậy góc BMD = 180 độ - góc giữa đường thẳng MN và đường thẳng BM = 180 độ - 90 độ = 90 độ. Vậy góc BMD = 90 độ.