Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 2023, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành số hoặc sử dụng đạo hàm.

1. Sử dụng phương pháp hoàn thành số:
Biểu thức m = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 2023 có thể viết lại thành:
m = (a^2 - 3a) + (ab - 3b) + (b^2 + 2023)
= a(a - 3) + b(a - 3) + (b^2 + 2023)
= (a - 3)(a + b) + (b^2 + 2023)

Ta thấy biểu thức trên có thể viết lại dưới dạng (a - 3)(a + b) + (b^2 + 2023). Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của (a - 3)(a + b) và (b^2 + 2023).

Với (a - 3)(a + b), ta có thể thấy rằng giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được khi a - 3 = 0 hoặc a + b = 0. Tức là a = 3 hoặc a = -b.

Với (b^2 + 2023), giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được khi b^2 = 0, tức là b = 0.

Vậy, để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m, ta cần xét các trường hợp sau:
- Khi a = 3 và b = 0, ta có m = (3 - 3)(3 + 0) + (0^2 + 2023) = 2023.
- Khi a = -b và b = 0, ta có m = (-b - 3)(-b + b) + (0^2 + 2023) = 2023.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức m là 2023.

2. Sử dụng đạo hàm:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 2023, ta có thể sử dụng đạo hàm.

Đạo hàm của biểu thức m theo a là: dm/da = 2a + b - 3.
Đạo hàm của biểu thức m theo b là: dm/db = a + 2b - 3.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m, ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số m. Điểm cực tiểu của hàm số xảy ra khi đạo hàm của hàm số bằng 0.

Ta giải hệ phương trình:
2a + b - 3 = 0
a + 2b - 3 = 0

Từ đó, ta có a = 3 và b = 0.

Thay a = 3 và b = 0 vào biểu thức m, ta có m = 3^2 + 3*0 + 0^2 - 3*3 - 3*0 + 2023 = 2023.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức m là 2023.