a. Ta có M là trung điểm của BC nên AM là đường cao của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Do đó, AM = MH.
Vì MD vuông góc với AB nên MD = MH/2.
Vì ME vuông góc với AC nên ME = MH/2.
Vậy AM = DE.

b. Tứ giác DMCE là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo DM và CE cắt nhau tại trung điểm của chúng.
Ta có M là trung điểm của BC nên DM là đường chéo chia đôi BC.
Ta cần chứng minh CE cắt DM tại trung điểm của chúng.
Gọi N là trung điểm của DE.
Ta cần chứng minh CN cắt DM tại trung điểm của chúng.
Vì M là trung điểm của BC nên AM song song với DE (do a).
Vậy tam giác AME và tam giác CNE đồng dạng (cùng vuông góc với AC và có cạnh chung NE).
Do đó, CN cắt DM tại trung điểm của chúng.
Vậy tứ giác DMCE là hình bình hành.

c. Ta cần chứng minh tứ giác DHME là hình thang và A đối xứng với H qua DE.
Vì AM = MH (do a) và AM || DE (do a) nên tứ giác DHME là hình thang.
Để chứng minh A đối xứng với H qua DE, ta cần chứng minh AH = AE.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên AE là đường cao của tam giác ABC.
Vậy AH = AE.
Vậy A đối xứng với H qua DE.