Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cos^2x - 1 + √3.sin2x, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số này.

Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số:
y' = -4cosx.sinx + 2√3.cos2x

Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình y' = 0:
-4cosx.sinx + 2√3.cos2x = 0

Chia cả hai vế của phương trình cho cosx:
-4sinx + 2√3.cos2x = 0

Chia cả hai vế của phương trình cho 2:
-2sinx + √3.cos2x = 0

Đặt t = sinx, ta có:
-2t + √3(1 - 2t^2) = 0
-2t + √3 - 2√3t^2 = 0
2√3t^2 - 2t + √3 = 0

Giải phương trình trên, ta được hai nghiệm:
t1 = (1 + √3)/2√3
t2 = (1 - √3)/2√3

Vì -1 ≤ sinx ≤ 1, nên ta chỉ xét nghiệm t1.

Từ đó, ta tính được giá trị của cosx:
cosx = √(1 - sin^2x) = √(1 - t1^2) = √(1 - [(1 + √3)/2√3]^2) = √(1 - (4 + 2√3)/12) = √(8 - 2√3)/√12 = √(2(4 - √3))/√(2.2.3) = √(4 - √3)/√6 = (√6√(4 - √3))/6 = (√6(√12 - √3))/6 = (√6√12 - √6√3)/6 = (√72 - √18)/6 = (√36√2 - √9√2)/6 = (6√2 - 3√2)/6 = √2/2

Vậy, cosx = √2/2.

Tiếp theo, ta tính giá trị của sin2x:
sin2x = 2sinxcosx = 2(√(1 - cos^2x))(cosx) = 2(√(1 - (√2/2)^2))(√2/2) = 2(√(1 - 1/2))(√2/2) = 2(√(1/2))(√2/2) = 2(1/√2)(√2/2) = 2/2 = 1

Vậy, sin2x = 1.

Thay giá trị cosx = √2/2 và sin2x = 1 vào hàm số y = 2cos^2x - 1 + √3.sin2x, ta có:
y = 2(√2/2)^2 - 1 + √3.1 = 2(2/4) - 1 + √3 = 1 - 1 + √3 = √3

Vậy, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cos^2x - 1 + √3.sin2x là √3.