Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số quy tắc cơ bản về tính chất của số chẵn và số lẻ.

Quy tắc 1: Tổng của hai số lẻ là một số chẵn.
Quy tắc 2: Tổng của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ.

Với quy tắc này, ta có thể chứng minh rằng tổng của một dãy số lẻ sẽ là một số lẻ.

Giả sử ta chia 2021 số tự nhiên thành các nhóm có 5 số. Mỗi nhóm này sẽ có tổng là một số lẻ theo quy tắc 1. Vì vậy, tổng của các nhóm này cũng là một số lẻ.

Ngoài ra, ta còn lại một số số tự nhiên không nằm trong các nhóm có 5 số. Số lượng các số này có thể là 0, 1, 2, 3 hoặc 4.

- Nếu số lượng các số này là 0, tức là ta không có số nào còn lại, tổng của 2021 số tự nhiên là một số lẻ.
- Nếu số lượng các số này là 1, tức là ta chỉ có một số còn lại. Vì số này là một số tự nhiên, nên tổng của 2021 số tự nhiên là một số lẻ.
- Nếu số lượng các số này là 2, tức là ta có hai số còn lại. Vì tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn, nên tổng của 2021 số tự nhiên là một số chẵn.
- Nếu số lượng các số này là 3, tức là ta có ba số còn lại. Vì tổng của ba số tự nhiên là một số lẻ, nên tổng của 2021 số tự nhiên là một số lẻ.
- Nếu số lượng các số này là 4, tức là ta có bốn số còn lại. Vì tổng của bốn số tự nhiên là một số chẵn, nên tổng của 2021 số tự nhiên là một số chẵn.

Từ các trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng tổng của 2021 số tự nhiên là một số chẵn hoặc một số lẻ, tùy thuộc vào số lượng các số tự nhiên còn lại sau khi chia thành các nhóm có 5 số.