Để tính độ dài các cạnh AB và AC, ta sử dụng định lý sin trong tam giác:

sin(A) = BC/AC
sin(B) = BC/AB

Với góc A = 105 độ, ta có:

sin(105) = BC/AC
=> AC = BC/sin(105)

Với góc B = 45 độ, ta có:

sin(45) = BC/AB
=> AB = BC/sin(45)

Tính giá trị của sin(105) và sin(45):

sin(105) = sin(180 - 75) = sin(75)
sin(45) = sin(180 - 135) = sin(135)

Để tính giá trị của sin(75) và sin(135), ta sử dụng công thức sin(A + B):

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Với A = 45 độ và B = 30 độ, ta có:

sin(75) = sin(45 + 30) = sin(45)cos(30) + cos(45)sin(30)

Tính giá trị của sin(45), cos(30) và sin(30):

sin(45) = 1/√2
cos(30) = √3/2
sin(30) = 1/2

Thay vào công thức, ta có:

sin(75) = (1/√2)(√3/2) + (1/√2)(1/2)
= (√3 + 1)/(2√2)

Tương tự, ta tính giá trị của sin(135):

sin(135) = sin(45 + 90) = sin(45)cos(90) + cos(45)sin(90)

Tính giá trị của sin(45), cos(90) và sin(90):

sin(45) = 1/√2
cos(90) = 0
sin(90) = 1

Thay vào công thức, ta có:

sin(135) = (1/√2)(0) + (1/√2)(1)
= 1/√2

Tính giá trị của AC và AB:

AC = BC/sin(105) = 4/(√3 + 1)/(2√2)
AB = BC/sin(45) = 4/(1/√2)

Để chia một phân số cho một phân số, ta nhân phân số đầu tiên với nghịch đảo của phân số thứ hai:

AC = 4/(√3 + 1)/(2√2) * (2√2)/(√3 + 1)
= 8√2/(√3 + 1)
= 8√2(√3 - 1)/(√3 + 1)(√3 - 1)
= 8√6 - 8√2/(√3 - 1)(√3 + 1)
= 8√6 - 8√2/(√3)^2 - (1)^2
= 8√6 - 8√2/3 - 1
= (8√6 - 8√2)/(3 - 1)
= 4(2√6 - √2)/2
= 2(2√6 - √2)

AB = 4/(1/√2) = 4√2

Vậy độ dài các cạnh AB và AC lần lượt là 4√2 cm và 2(2√6 - √2) cm.