a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và I là trung điểm của BC, nên AI là đường cao của tam giác ABC. Vì vậy, IM vuông góc với AB và IN vuông góc với AC.
Do đó, tứ giác AMIN là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông và 2 cạnh đối nhau bằng nhau (AM = IN và AI = MN).

b) Ta lấy điểm D sao cho M là trung điểm của DI. Khi đó, ta có:
- Vì M là trung điểm của DI nên DM = MI.
- Tứ giác AMIN là hình chữ nhật nên AM = IN.
- Tứ giác AMIN là hình chữ nhật nên góc AMI = 90°.
- Tứ giác AIBD là hình thoi nên góc AIB = 90°.

Từ các điều trên, ta có:
- Tam giác AMI là tam giác vuông cân nên góc AIM = 45°.
- Tam giác AIN là tam giác vuông cân nên góc ANI = 45°.
- Góc AIM = góc ANI = 45° nên góc AIN = góc AIM = 45°.
- Góc AIB = góc AIM + góc BIM = 45° + 45° = 90°.
- Góc AIB = 90° nên tứ giác AIBD là hình thoi.

Từ đó, ta có:
- Góc ABM = góc AIM = 45°.
- Góc ACN = góc ANI = 45°.
- Góc ABM = góc ACN = 45° nên tứ giác ABMI = AINC.

Vậy ta đã chứng minh được tứ giác ABMI = AINC và tứ giác AIBD là hình thoi.