Cho ABC vuông tại A. AB vuông góc AB tại E,kẻ HF vuông góc AC tại F. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

a) Ta có AB vuông góc AC nên theo định nghĩa hình chữ nhật, cần chứng minh AEHF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AE = HF và AH = EF.

Vì ABC là tam giác vuông tại A, nên theo định lý Pythagoras, ta có:
AB^2 = AE^2 + BE^2
AC^2 = AH^2 + HC^2

Vì AB = AC (vì tam giác ABC vuông cân tại A), nên ta có:
AE^2 + BE^2 = AH^2 + HC^2

Vì AB vuông góc AC tại E, nên AE = EC, và vì HF vuông góc AC tại F, nên HC = CF. Thay vào biểu thức trên, ta có:
AE^2 + BE^2 = AH^2 + CF^2

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH = AB - BH = AB - CF (vì BH = CF). Thay vào biểu thức trên, ta có:
AE^2 + BE^2 = (AB - CF)^2 + CF^2
AE^2 + BE^2 = AB^2 - 2ABCF + CF^2 + CF^2
AE^2 + BE^2 = AB^2 + 2CF^2 - 2ABCF

Vì AB^2 = AE^2 + BE^2, ta có:
2CF^2 - 2ABCF = 0
CF^2 - ABCF = 0
CF(CF - AB) = 0

Vì CF ≠ 0 (vì CF là đoạn thẳng), nên ta có CF - AB = 0, hay CF = AB.

Vậy ta có AE = HF và AH = EF, nên tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Điểm M là điểm đối xứng của điểm A qua điểm F, nên ta có MF = AF và FM = FA.

Vì tứ giác AEHF là hình chữ nhật (theo phần a), nên AE = HF và AH = EF.

Ta có:
MF = AF (điểm M là điểm đối xứng của điểm A qua điểm F)
FM = FA (điểm M là điểm đối xứng của điểm A qua điểm F)
AE = HF (tứ giác AEHF là hình chữ nhật)
AH = EF (tứ giác AEHF là hình chữ nhật)

Vậy tứ giác EFMH là hình bình hành.

c) Từ điểm M, kẻ đường thẳng song song AH, đường thẳng này cắt tia HF tại N.

Ta có:
AH || MN (do đường thẳng AH song song với đường thẳng MN)
AH = EF (tứ giác AEHF là hình chữ nhật)
EF = FM (tứ giác EFMH là hình bình hành)

Vậy tứ giác AHMN là hình thoi.