Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 25 kg nếp, 3 kg thịt ba chỉ, 5 kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống (bánh tét)

Để tìm số lượng bánh chưng và bánh ống cần gói để đạt được điểm thưởng cao nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình và giải hệ phương trình.

Gọi x là số lượng bánh chưng cần gói, y là số lượng bánh ống cần gói.

Theo yêu cầu đề bài, ta có hệ phương trình sau:
0.4x + 0.6y ≤ 25 (giới hạn về nếp)
0.05x + 0.075y ≤ 3 (giới hạn về thịt)
0.1x + 0.1y ≤ 5 (giới hạn về đậu xanh)

Để tìm số lượng bánh mỗi loại để đạt được điểm thưởng cao nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu Z = 5x + 7y.

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp đơn hình. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị vì số lượng biến và ràng buộc không quá nhiều.

Đầu tiên, ta vẽ đồ thị của các ràng buộc:

Đồ thị của ràng buộc 0.4x + 0.6y ≤ 25:
Đặt x = 0, ta có 0.6y ≤ 25, từ đó y ≤ 41.67
Đặt y = 0, ta có 0.4x ≤ 25, từ đó x ≤ 62.5
Vẽ đường thẳng y = 41.67 và x = 62.5, và vùng nằm dưới đường thẳng này là vùng thỏa mãn ràng buộc.

Đồ thị của ràng buộc 0.05x + 0.075y ≤ 3:
Đặt x = 0, ta có 0.075y ≤ 3, từ đó y ≤ 40
Đặt y = 0, ta có 0.05x ≤ 3, từ đó x ≤ 60
Vẽ đường thẳng y = 40 và x = 60, và vùng nằm dưới đường thẳng này là vùng thỏa mãn ràng buộc.

Đồ thị của ràng buộc 0.1x + 0.1y ≤ 5:
Đặt x = 0, ta có 0.1y ≤ 5, từ đó y ≤ 50
Đặt y = 0, ta có 0.1x ≤ 5, từ đó x ≤ 50
Vẽ đường thẳng y = 50 và x = 50, và vùng nằm dưới đường thẳng này là vùng thỏa mãn ràng buộc.

Sau khi vẽ đồ thị các ràng buộc, ta tìm điểm giao của các đường thẳng để tìm vùng thỏa mãn tất cả các ràng buộc. Trong trường hợp này, vùng thỏa mãn tất cả các ràng buộc là hình tam giác có các đỉnh (0, 0), (0, 40), và (50, 0).

Tiếp theo, ta tính giá trị hàm mục tiêu Z = 5x + 7y tại các đỉnh của hình tam giác:

Đỉnh (0, 0): Z = 5(0) + 7(0) = 0
Đỉnh (0, 40): Z = 5(0) + 7(40) = 280
Đỉnh (50, 0): Z = 5(50) + 7(0) = 250

Vậy, để đạt được điểm thưởng cao nhất, ta cần gói 40 cái bánh ống và không cần gói bánh chưng.