Chứng minh hai tam giác vuông IMF và KEM bằng nhau?

a) Ta có \(DM\) là trung tuyến của tam giác \(DEF\), nên \(DM\) cắt \(EF\) tại điểm \(N\) sao cho \(EN = NF\). Vì \(DM\) là trung tuyến nên \(DN = NM\).
Xét tam giác \(IMF\), ta có \(IM\) là đường cao của tam giác \(DEF\) nên \(IM\) vuông góc với \(EF\). Tương tự, ta có \(KM\) vuông góc với \(EF\).
Vậy hai tam giác \(IMF\) và \(KEM\) vuông cân tại \(M\) và có cạnh chung \(EF\), nên hai tam giác này bằng nhau theo trường hợp bằng cạnh - góc - cạnh (CAGC).

b) Ta có \(IM\) vuông góc với \(DF\) và \(KM\) vuông góc với \(DE\), nên \(IM\) song song với \(DE\) và \(KM\) song song với \(DF\).
Do đó, tứ giác \(IDKM\) là một hình chữ nhật vì có hai cặp cạnh đối song song và góc vuông.

c) Ta đã chứng minh ở câu b) rằng \(IDKM\) là một hình chữ nhật. Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\), nên \(MN\) song song với \(DK\) và \(MN\) bằng một nửa của \(DK\).
Do đó, tứ giác \(DEMN\) là một hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và cạnh bằng nhau.

d) Ta đã chứng minh ở câu c) rằng \(DEMN\) là một hình bình hành. Vì \(DM\) vuông góc với \(EF\) và \(EN = NF\), nên \(DM\) là đường trung trực của \(EF\).
Tương tự, ta có \(DN\) là đường trung trực của \(EF\).
Vậy tứ giác \(DMFN\) là một hình thoi vì có hai cặp cạnh đối xứng qua đường trung trực của \(EF\).

e) Nếu \(DE = DF\), ta có \(EN = NF\) (vì \(EN = \frac{1}{2}DE\) và \(NF = \frac{1}{2}DF\)).
Vì vậy, tứ giác \(DMFN\) là một hình vuông vì có cạnh bằng nhau và các góc đều bằng \(90^\circ\).